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幾個(gè)抽象函數(shù)問(wèn)題的粗淺分析
抽象函數(shù)是一種重要的數(shù)學(xué)概念.我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f(x)，且無(wú)法用數(shù)字和字母的函數(shù)稱為抽象函數(shù).由于抽象函數(shù)的問(wèn)題通常將函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性和圖像集于一身.這類問(wèn)題考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力、對(duì)一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí)以及數(shù)學(xué)的綜合能力.
解決抽象函數(shù)的問(wèn)題要求學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、抽象思維能力、綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力較高.所以近幾年來(lái)高考題中不斷出現(xiàn)，在2009年的全國(guó)各地高考試題中，抽象函數(shù)遍地開花.但學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)常常感到束手無(wú)策、力不從心.下面通過(guò)例題全面探討抽象函數(shù)主要考查的內(nèi)容及其解法.
一、抽象函數(shù)的定義域
例1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇1,3]，求出函數(shù)g(x)=f(x+a)+f(x-a) (a>0)的定義域.
解析：由由a>0 知只有當(dāng)0
點(diǎn)評(píng)：1.已知f(x)的定義域?yàn)閇a,b]，則f[g(x)]的定義域由a≤g(x)≤b，解出x即可得解;
2.已知f[g(x)]的定義域?yàn)閇a,b]，則f(x)的定義域即是g(x)在x [a,b]上的值域.
二、抽象函數(shù)的值域
解決抽象函數(shù)的值域問(wèn)題——由定義域與對(duì)應(yīng)法則決定.
例2若函數(shù)y=f(x+1)的值域?yàn)閇-1，1]求y=(3x+2)的值域.
解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(3x+2)中的定義域與對(duì)應(yīng)法則與函數(shù)y=f(x+1)的定義域與對(duì)應(yīng)法則 完全相同，故函數(shù)y=f(3x+2)的值域也為[-1，1].
三、抽象函數(shù)的奇偶性
例3若y=f(x)是偶函數(shù),y= f(x-1)是奇函數(shù)，求 f(2007)=?
解析：因?yàn)閥=f(x-1)是奇函數(shù),所以y=f(-x-1)=-f(x-1){為什么?};因?yàn)?y=f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x-1)=f(x+1){為什么?};因?yàn)閒(x+1)=-f(x-1), 所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x);因?yàn)閥=f(x-1)是奇函數(shù),所以f(0)=0=f(-1)=f(2007)
四、抽象函數(shù)的對(duì)稱性
例4已知函數(shù)y=f(2x+1)是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱,則g(x)+ g(-x)的值為( )
A、 2 B、 0 C、 1 D、不能確定
解析：由y=f(2x+1)求得其反函數(shù)為y=[f (x)-1]/2，∵ y=f(2x+1) 是奇函數(shù)，
∴y=[f (x)-1]/2也是奇函數(shù)，∴[f (x)-1]/2+[f (-x)-1]/2=0 ∴f (x)+f (-x)=2，而函數(shù)y=g(x)的圖像與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，∴g(x)+ g(-x)= f (x)+f (-x)故選A .
五、抽象函數(shù)的周期性
例5、(2009全國(guó)卷Ⅰ理)函數(shù)的定義域?yàn)镽，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則( )
(A) f(x)是偶函數(shù) (B) f(x)是奇函數(shù)
(C) f(x)= f(x+2) (D) f(x+3)是奇函數(shù)
解: ∵f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，，
函數(shù)關(guān)于(-1,0)點(diǎn)，及點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).，所以f(x+3)= f(x-1)，即f(x+3)是奇函數(shù).故選D
關(guān)于抽象函數(shù)的周期性有如下的幾個(gè)定理和性質(zhì)，由于篇幅問(wèn)題，推導(dǎo)就省略了.
定理1.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件f (x+a)=f (x-b)，則y=f (x) 是以T=a+b為周期的周期函數(shù).
定理2.若函數(shù)y=f (x) 定義域?yàn)镽，且滿足條件f (x+a)= -f (x-b)，則y=f (x) 是以T=2(a+b)為周期的周期函數(shù).
定理3.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于直線 x=a與 x=b (a≠b)對(duì)稱，則y=f (x) 是以T=2(b-a)為周期的周期函數(shù). 轉(zhuǎn)貼于 中國(guó)論文下載中
et 定理4.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(a,0)與點(diǎn)(b,0) , (a≠b)對(duì)稱，則y=f (x) 是以 T=2(b-a)為周期的周期函數(shù).
定理5.若函數(shù)y=f (x)的圖像關(guān)于直線 x=a與 點(diǎn)(b,0),(a≠b)對(duì)稱，則y=f (x) 是以 T=4(b-a)為周期的周期函數(shù).
性質(zhì)1：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)=f(b+x) (a≠b,ab≠0),則函數(shù)f(x)有周期2(a-b);
性質(zhì)2：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)= - f(a+x)及f(b-x)=- f(b+x)，(a≠b,ab≠0),則函數(shù)有周期2(a-b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期2a.
性質(zhì)3：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x)及f(b-x)= - f(b+x) (a≠b,ab≠0)， 則函數(shù)有周期4(a-b).
特別：若函數(shù)f(x)滿足f(a-x)=f(a+x) (a≠0)且f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)有周期4a.
從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)的考查范圍很廣，能力要求較高.但只要對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)熟，掌握上述有關(guān)的結(jié)論和類型題相應(yīng)的解法，則會(huì)得心應(yīng)手.
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