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      考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)4大重要考點(diǎn)總結(jié)

      時(shí)間:2021-01-26 16:07:00 考研數(shù)學(xué) 我要投稿

      考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)4大重要考點(diǎn)總結(jié)

        在考研數(shù)學(xué)考試中關(guān)于線性代數(shù)的部分里,有關(guān)矩陣的秩、特征值與特征向量、線性方程組求解和二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷這四大考點(diǎn),是大家一定要復(fù)習(xí)好的內(nèi)容。

      考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)4大重要考點(diǎn)總結(jié)

        線性代數(shù)占考研數(shù)學(xué)總分值的22%,約34分,以2個(gè)選擇題、1個(gè)填空題、2個(gè)解答題的形式出現(xiàn)。雖然線性代數(shù)的考點(diǎn)眾多,但要把這5個(gè)題目的分值完全收入囊中,則需要進(jìn)行重點(diǎn)題型重點(diǎn)突破。

        矩陣的秩

        矩陣是解決線性方程組的解的有力工具,矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣?yán)碚撌蔷性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容,熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容,利用其來解決實(shí)際應(yīng)用問題就變得簡單易行。正因?yàn)榫仃嚴(yán)碚撛谡麄(gè)線性代數(shù)中的重要作用,使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成,每一個(gè)元素都在扮演不同的角色,其中的核心或主角是它的秩!

        通過幾十年考研考試命題,命題老師對題目的形式在不斷地完善,這也要求大家深入理解概念,靈活處理理論之間的關(guān)系,能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解,對矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解,對矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區(qū)別的理解,對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握,對含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等,都需要在對概念理解的`基礎(chǔ)上,聯(lián)系地看問題,及時(shí)總結(jié)結(jié)論。

        矩陣的特征值與特征向量

        矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用,也是將二次型標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的便捷方式,故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對于特征值與特征向量,須理清其相互關(guān)系,也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值,元素均為1的列向量是其對應(yīng)的特征向量),會(huì)處理含參數(shù)的情況。

        線性方程組求解

        對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理,含參數(shù)的方程組是考查的重點(diǎn),對方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題(數(shù)學(xué)二為22題),已知三元非齊次線性方程組存在2個(gè)不同的解,求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個(gè)不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解,系數(shù)矩陣降秩,行列式為0,可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。

        二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷

        二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對角化緊密相連,即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運(yùn)算中節(jié)省時(shí)間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì),但畢竟這是一類特殊矩陣,判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類,可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件,例如二次型矩陣的特征值是否全大于0,順序主子式是否均大于0等,但前者更常用一些。

        以上四個(gè)考點(diǎn)可以說是考試的重點(diǎn)考查對象,同學(xué)們可以根據(jù)自己的實(shí)際情況圍繞重點(diǎn)題型針對復(fù)習(xí)。只要攻克這些重難點(diǎn),相信考研數(shù)學(xué)就會(huì)變得so easy!

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