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      概率論知識總結

      時間:2020-11-15 19:18:16 學習總結 我要投稿

      概率論知識總結

        概率是生活中經常會用到的知識,在考試中也經常會遇到,下面概率論知識總結是小編想跟大家分享的,歡迎大家瀏覽。

      概率論知識總結

        概率論知識總結

        第一章 概率論的基本概念

        1. 隨機試驗

        確定性現象:在自然界中一定發生的現象稱為確定性現象。

        隨機現象: 在個別實驗中呈現不確定性,在大量實驗中呈現統計規律性,這種現象稱

        為隨機現象。

        隨機試驗:為了研究隨機現象的統計規律而做的的實驗就是隨機試驗。

        隨機試驗的特點:1)可以在相同條件下重復進行;

        2)每次試驗的可能結果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能

        結果;

        3)進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會先出現;

        2. 樣本空間、隨機事件

        樣本空間:我們將隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間,記為S。 樣本點:構成樣本空間的元素,即E中的每個結果,稱為樣本點。

        事件之間的基本關系:包含、相等、和事件(并)、積事件(交)、差事件(A-B:包含A

        不包含B)、互斥事件(交集是空集,并集不一定是全集)、對立

        事件(交集是空集,并集是全集,稱為對立事件)。

        事件之間的運算律:交換律、結合律、分配率、摩根定理(通過韋恩圖理解這些定理)

        3. 頻率與概率

        頻數:事件A發生的次數

        頻率:頻數/總數

        概率:當重復試驗的次數n逐漸增大,頻率值就會趨于某一穩定值,這個值就是概率。 概率的特點:1)非負性。2)規范性。3)可列可加性。

        概率性質:1)P(空集)=0,2)有限可加性,3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)

        -P(AB)

        4. 古典概型

        學會利用排列組合的知識求解一些簡單問題的概率(彩票問題,超幾何分布,分配問題,

        插空問題,捆綁問題等等)

        5. 條件概率

        定義:A事件發生條件下B發生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A)

        乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A)

        全概率公式與貝葉斯公式

        6. 獨立性檢驗

        設 A、B是兩事件,如果滿足等式

        P(AB)=P(A)P(B)

        則稱事件A、B相互獨立,簡稱A、B獨立。

        第二章.隨機變量及其分布

        1. 隨機變量

        定義:設隨機試驗的樣本空間為S={e}. X=X(e)是定義在樣本空間S上的單值函數,稱

        X=X(e)為隨機變量。

        2. 離散型隨機變量及其分布律

        三大離散型隨機變量的分布

        1)(0——1)分布。E(X)=p, D(X )=p(1-p)

        2)伯努利試驗、二項分布 E(X)=np, D(X)=np(1-p)

        3) 泊松分布 P(X=k)= (?^k)e^(- ?)/k! (k=0,1,2,……)

        E(X)=?,D(X)= ?

        注意:當二項分布中n 很大時,可以近似看成泊松分布,即np= ?

        3. 隨機變量的分布函數

        定義:設X是一個隨機變量,x是任意的實數,函數

        F(x)=P(X≤x),x屬于R 稱為X的分布函數

        分布函數的性質:

        1) F(x)是一個不減函數

        2) 0≤F(x)≤1

        離散型隨機變量的分布函數的求法(由分布律求解分布函數)

        連續性隨機變量的分布函數的求法(由分布函數的圖像求解分布函數,由概率密度求

        解分布函數)

        4. 連續性隨機變量及其概率密度

        連續性隨機變量的分布函數等于其概率密度函數在負無窮到x的變上限廣義積分 相反密度函數等與對應區間上分布函數的導數

        密度函數的性質:1)f(x)≥0

        2) 密度函數在負無窮到正無窮上的廣義積分等于1

        三大連續性隨機變量的分布: 1)均與分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a)^2]/12

        2)指數分布 E(X)=θ D(X)=θ^2

        3)正態分布一般式(標準正態分布)

        5. 隨機變量的函數的分布

        1)已知隨機變量X的 分布函數求解Y=g(X)的分布函數

        2)已知隨機變量X的 密度函數求解Y=g(X)的密度函數

        第三章 多維隨機變量及其分布(主要討論二維隨機變量的分布)

        1.二維隨機變量

        定義 設(X,Y)是二維隨機變量,對于任意實數x, y,二元函數

        F(x, Y)=P[(X≤x)交(Y≤y)] 稱為二維隨機變量(X,Y)的分布函數或稱為隨機變量聯合分布函數

        離散型隨機變量的分布函數和密度函數

        連續型隨機變量的分布函數和密度函數

        重點掌握利用二重積分求解分布函數的.方法

        2.邊緣分布

        離散型隨機變量的邊緣概率

        連續型隨機變量的邊緣概率密度

        3.相互獨立的隨機變量

        如果X,Y相互獨立,那么X,Y的聯合概率密度等于各自邊緣的乘積

        5. 兩個隨機變量的分布函數的分布

        關鍵掌握利用卷積公式求解Z=X+Y的概率密度

        第四章.隨機變量的數字特征

        1.數學期望

        離散型隨機變量和連續型隨機變量數學期望的求法

        六大分布的數學期望

        2.方差

        連續性隨機變量的方差

        D(X)=E(X^2)-[E (X )]^2

        方差的基本性質:

        1) 設C是常數,則D(C)=0

        2) 設X隨機變量,C是常數,則有

        D(CX)=C^2D(X)

        3) 設X,Y是兩個隨機變量,則有

        D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特別地,若X,Y不相關,則有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的簡單應用

        3. 協方差及相關系數

        協方差:Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))}

        相關系數:m=Cov(x,y)/√D(X) √D(Y)

        當相關系數等于0時,X,Y 不相關,Cov(X ,Y )等于0 不相關不一定獨立,但獨立一定不相關

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