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三角函數(shù)測試題及答案
試題一：
一、選擇題
1. 下列各三角函數(shù)式中，值為正數(shù)的是 ( )
A. B. C. D.
2. 若=，且為銳角，則的值等于 ( )
A. B. C. D.
3. 若=，，則的值為 ( )
A. 1 B. 2 C. D.
4. 已知，則 ( )
A. B.
C. D.
5. a=，則成立的是 ( )
A. ab>c C. a
6. 函數(shù)的定義域是( )
A. B.
C. D.
7. 下面三條結(jié)論：①存在實(shí)數(shù)，使成立;②存在實(shí)數(shù)，使成立;③若cosacosb=0，則其中正確結(jié)論的個數(shù)為( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 函數(shù)的值域是 ( )
A. [-2，2] B. [-1，2] C. [-1，1] D. [，2]
9. 函數(shù)y=-x·cosx的部分圖象是( )
10. 函數(shù)f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A. 非奇非偶函數(shù)
B. 僅有最小值的奇函數(shù)
C. 僅有最大值的偶函數(shù)
D. 既有最大值又有最小值的偶函數(shù)
二、填空題
1、函數(shù)的最小值等于 并使函數(shù)y 取最小值的x的集合為
2、若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則
函數(shù)的值域?yàn)?/p>
3、已知函數(shù)
三、解答題
1、已知，求的值
2、在DABC中，已知三邊滿足，試判定三角形的形狀。
試題二：
1、若sinα=-5/13，且α為第四象限角，tanα=?(文.6)
A.12/5 B.-12/5 C.5/12 D.-5/12
解析：主要考察基礎(chǔ)知識。α是第四象限角，所以cosα為正，tanα為負(fù)。
cos2α=1-sin2α，且cosα是正數(shù)，所以cosα=12/13，tanα=sinα/cosα=-5/12，選D。
2、已知函數(shù)f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)
1)求f(x)的最小正周期
2)將f(x)的函數(shù)圖像向右平移π/6個單位長度，再向下平移a個單位長度后得到g(x)的函數(shù)圖像，且函數(shù)g(x)的最大值為2.
i)求g(x)的解析式
ii)證明存在無窮多互不相同個正整數(shù)x0，使得g(x0)>0.
解析：
1)函數(shù)的化簡，可以看到兩個式子都跟兩倍角公式有關(guān)系，可以考慮先都變成兩倍角。
f(x)=10√3sin(x/2)*cos(x/2)+10cos2(x/2)=10√3*(1/2*sinx)+10*(1/2*(cosx+1))
=5√3sinx+5cosx+5=10*(√3/2*sinx+1/2*cosx)+5
=10*(cosπ/6*sinx+sinπ/6*cosx)+5=10*sin(x+π/6)+5，(根據(jù)兩角和公式)
所以f(x)的最小正周期為2π/ω=2π
2)
i)先是函數(shù)圖像的變化問題
左加右減，右移是x變化，右移π/6就是把x變成x-π/6，變成
m(x)=10*sin(x-π/6+π/6)+5=10sinx+5.
上加下減，下移是函數(shù)值變化，下移a個單位就是函數(shù)值減a，變成
g(x)=10sinx+5-a.因?yàn)間(x)最大值為2，所以a=13.
g(x)=10sinx-8.
ii)g(x0)>0,也就是10sinx-8>0,sinx>4/5.
也就是要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得sinx>4/5.
直接求這個不等式的解集比較難，因?yàn)槲覀儾恢纒in多少=4/5，但我們可以就近找，可以發(fā)現(xiàn)√3/2>4/5，所以我們只需要證明存在無窮多個互不相同的正整數(shù)x0，使得sinx>√3/2即可。
sinx>√3/2的解集為(π/3+2kπ，2/3π+2kπ)
先看(π/3，2π/3)，區(qū)間長度為π/3>1，也就是這個區(qū)間內(nèi)至少會有一個整數(shù)，比如這個區(qū)間的整數(shù)就是1.
每個(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)的區(qū)間長度都是π/3>1，因此對于任意的正整數(shù)k，在(π/3+2kπ，2π/3+2kπ)之間內(nèi)都存在正整數(shù)x0使得g(x)>0，因此就是存在無窮多互不相同個正整數(shù)x0，使得g(x0)>0。
難點(diǎn)在于正整數(shù)的理解，任何一個區(qū)間，只要長度大于1，中間肯定就會有一個整數(shù)。
3、若銳角三角形ABC的面積是10√3，AB=5，AC=8，求BC=?(數(shù)學(xué).理)
解析：提到面積，很容易想到正弦定理。
正弦定理：a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D還有面積S=1/2*ab*sinC
S=1/2*AB*AC*sinA=10√3,代入數(shù)據(jù)求得sinA=√3/2,因此是銳角三角形，所以A=π/3，即60度。知道角和兩條夾邊，根據(jù)余弦定理可以求得對邊。
a²=c²+b²-2bccosA，也就是BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cosA=25+64-80*1/2=49
BC=7
4、已知函數(shù)f(x)的圖像是由g(x)=cosx經(jīng)過以下變化得到：g(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變成原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，再將所得的圖像向右平移π/2個單位。
1)求f(x)的解析式，及對稱軸方程。
2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0，2π)之間存在兩個不同的解a,b。
i)求實(shí)數(shù)m的取值范圍
ii)cos(a-b)=2m²/5-1.
解析：
1)還是圖像變化老問題，g(x)圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變成原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，就是函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?倍，也就是變成了2cosx。
再將所得的圖像向右平移π/2個單位。左加右減，左右移動x變化，就是x變成x-π/2.于是有f(x)=2cos(x-π/2)，有強(qiáng)迫癥的還可以化簡為f(x)=2cos(x-π/2)=2cos(π/2-x)=2sinx。
f(x)的對稱軸就是f(x)的最大值很最小值，也就是x=π/2+kπ(k是整數(shù))
2)先代入化簡：f(x)+g(x)=m，2sinx+cosx=m，√5sin(x+φ)=m
輔助角公式：
二思考：存在兩個不同的解是什么意思?如果是一元二次方程有個△可以看，三角函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的解，從sinx的圖像可以看到，在一個周期內(nèi)，除了兩個頂點(diǎn)之外，任意的值都存在兩個x與之對應(yīng)。
所以函數(shù)在[0，2π)之間存在兩個不同的解a,b，只需要滿足-√5
ii)cos(a-b)=2m²/5-1
a,b是方程2sinx+cosx=m，也就是√5sin(x+φ)=m的根。繼續(xù)從函數(shù)圖像上找找a,b的關(guān)系。可以看到a.b關(guān)于函數(shù)的某一條對稱軸對稱。
先求√5sin(x+φ)在[0，2π)之間的對稱軸。sinx的對稱軸為x=π/2+kπ(k是整數(shù))，sin(x+φ)是x+φ=π/2+kπ(k是整數(shù))。
如果-√5
如果0<=m<√5，那么a,b就關(guān)于x+φ=π/2對稱，同樣得到a+b=2*(π/2-φ)=π-2φ。
接下去就要看轉(zhuǎn)化了，因?yàn)閍，b是√5sin(x+φ)=m的根，所以有√5sin(a+φ)=m，√5sin(b+φ)=m。
轉(zhuǎn)化1：題干的左邊轉(zhuǎn)化
cos(a-b)=cos(a+φ-(b+φ))=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)
轉(zhuǎn)化2：我們已知條件的轉(zhuǎn)化
-√5
兩邊正弦得，sin(a+φ)=sin(3π-(b+φ))=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)
兩邊余弦得，cos(a+φ)=cos(3π-(b+φ))=cos(π-(b+φ))=-cos(b+φ)
0<=m<√5時，同樣可以化簡得到sin(a+φ)=sin(π-(b+φ))=sin(b+φ)
cos(a+φ)=-cos(b+φ)
綜合化簡：
cos(a-b)=cos(a+φ)cos(b+φ)+sin(a+φ)sin(b+φ)
=-cos(b+φ)cos(b+φ)+sin(b+φ)sin(b+φ)
=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)
√5sin(b+φ)=m,sin(b+φ)=m/√5,sin²(b+φ)=m²/5
cos²(b+φ)=1-sin²(b+φ)=1-m²/5
所以cos(a-b)=-cos²(b+φ)+sin²(b+φ)=-(1-m²/5)+m²/5=2m²/5-1
證畢。
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