與導數的函數題的統一解題技巧分析

與導數有關的函數題的統一解題技巧分析

　　與導數有關的函數題是各省市檢測和高考年年必考的題目，形式層出不窮，絕大多數還是區分度頗高的壓軸題.許多中上水平的考生往往處理完第一問后，對第二、三問或是匆忙求導眼到手不到形成一堆爛賬，或是寫了一堆解答過程發現走進死胡同再出來，這樣做的結果往往是得分較低，浪費時間，長此以往對科學備考的負面影響較大.究其原因，很多考生表現為不知道自己“起步”錯誤，具體來說就是對哪個函數求導不明確，或為什么要構造新函數F (x)和如何構造函數F (x)不明確.本文結合近兩年的高考題，就解答與導數有關的區分度頗高的函數題，如何走好“動一發而系全身”的第一步，談如何構造函數F (x)，給出程序化的構建模式，以達到“好的開始是成功的一半”的目的.

　　一、與導數有關的函數題概述

　　與導數有關的區分度頗高的函數題主要包括:討論含參(一元參數或二元參數)方程根的個數與范圍，含參(一元參數或二元參數)不等式的證明，求含參函數的最值或單調區間，含參(一元參數或二元參數)不等式恒成立時已知含參函數的最值或單調區間求某參數的范圍，已知含參(一元參數或二元參數)方程根的個數和范圍求某參數的范圍等.題目形式雖然千變萬化、層出不窮，但本質上就是一道題.本文為使問題說明得更加方便，不妨以 f(x)≥g(x)的形式來說明.

　　二、程序化構造函數F (x)的統一模式

　　1.直接法:令F (x)= f(x)-g(x).

　　2.化積法:若 f(x)-g(x)=h(x)k(x)，且h(x)≥0，令F (x)= k(x).

　　3.伸縮法:若 f(x)≥ f1(x)，則令F (x)= f1(x)-g(x)，其中，f1(x)通常可由熟悉的不等式或前一問中的結論得出.

　　4.控元法:含參問題若已給出參數k的范圍，由單調性控元、消元、消參，構建F (x)(F (x)不含參數).

　　5.分離變量法:若能分離出變量k≥k(x)，則令F (x)=k(x).

　　三、程序化構造函數F (x)的統一模式在高考題中的運用

　　例1 (2013年高考新課標全國Ⅱ卷理科卷第21題)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

　　(Ⅰ)設x=0是f(x)的極值點，求m，并討論 f(x)的單調性.

　　(Ⅱ)當m≤2時，證明f(x)>0.

　　(Ⅰ)解:m=1. f(x)在(-1，0)上單調遞減，在(0，+∞)上單調遞增.(解答過程省略)

　　(Ⅱ)證明:當m≤2，x∈(-m，+∞)時，ln(x+2)≥ln(x+m).記F (x)=ex-ln(x+2)，則F ′(x)=ex- .

　　∵F ′′(x)=ex+ >0，∴F ′(x)在(-2，+∞)上單調遞增.

　　∵F ′(0)=1- >0，F ′(-1)= -1<0，即 = ，x0=-ln(x0+2)，∴F (x0)= -ln(x0+2)= +x0= >0.

　　當x∈(-2，x0)時，F ′(x)<0，此時函數F (x)單調遞減;當x∈(x0，+∞)時，F ′(x)>0，此時函數F (x)單調遞增.

　　∴ f(x)≥F (x)≥F min(x)=F (x0)>0.

　　小結 本題是一道含參不等式的證明題，考生若不假思索地直接采用構造F (x)=左-右，則在求F ′(x)=0時會走進死胡同.問題出在含參，因此應該控元，將兩個變量變為一個變量，使其常態化.

　　例2 (2012年高考山東理科卷第22題)已知函數f(x)= (k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數)，曲線y= f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行.

　　(Ⅰ)求k的值.

　　(Ⅱ)求 f(x)的單調區間.

　　(Ⅲ)設g(x)=(x2+x) f ′(x)，其中 f ′(x)為 f (x)的導函數.證明:對任意x>0，g(x)<1+e-2.

　　(Ⅰ)解:k=1.(解答過程省略)

　　(Ⅱ)解:函數 f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減.(解答過程省略)

　　(Ⅲ)證明:g(x)=(x2+x)· =(1+x)· .

　　欲證g(x)<1+e-2，即證1-x(ln x+1)< (1+e-2).①

　　令F 1(x)=1-x(ln x+1)，則F (x)=-ln x-2.令F (x)=0，得ln x =-2，∴x = e- 2∈(0，+∞).

　　當x∈(0，e- 2)時，F (x)>0，此時F 1(x)單調遞增;當x∈(e- 2，+∞)時，F (x)<0，此時F 1(x)單調遞減.∴F 1max(x)=F1 (e- 2)=1+e- 2.

　　令F 2(x)= .∵F (x)= = > 0，∴F 2(x)在(0，+∞)上單調遞增.∴F 2(x)>F 2(0)=1.∴不等式①得證.∴ g(x)<1+e- 2(x>0).

　　小結 如何構造函數F(x)，關鍵在于F ′(x)=0是否易求(或易估).若直接求g(x)，則g′(x)=0的求解將陷入泥潭.

　　例3 (2012年高考遼寧理科卷第21題)設f(x)=ln(x+1)+ +ax+b(a，b∈R，a，b為常數)，曲線y= f(x)與直線y= x在(0，0)點相切.

　　(Ⅰ)求a，b的值.

　　(Ⅱ)證明:當0 (Ⅰ)解:a=0，b=-1.(解答過程省略)

　　(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)+ -1.

　　∵ < (0 構造F (x)=ln(x+1)+ - ，則F ′(x)= + - = .

　　當x∈(0，2)時，∵x2+15x-36<0，∴F ′(x)<0.∴F (x)單調遞減.∴F (x) ∴ln(x+1)+ < .∴ln(x+1)+ -1< ，即f(x)< .

　　小結 本題若直接對f(x)求導，則會在計算f ′(x)=0時碰壁.原因在于對 求導時，既有根式又有分式，而ln(x+1)的導數僅有分式，使得在求f ′(x)=0時眼到手不到.

　　(作者單位:廈門工商旅游學校;廈門英才學校)

　　(責任編校/周峰)

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　　《利用二次求導巧解高考函數壓軸題》

　　隨著課改的不斷深入，導數知識考查的要求逐漸加強，現在已由前幾年高考只在解決問題中起輔助作用，上升為分析與解決問題時不可缺少的工具.

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