矩陣三角分解開題報告范文
篇一：矩陣三角分解的探討
在近代數(shù)學、工程技術、經濟理論管理科學中，大量涉及矩陣理論的知識，很多問題都可以歸結為矩陣并最終通過矩陣來解決。經查閱發(fā)現(xiàn)，目前關于矩陣三角分解的應用研究不少，但對三角分解缺乏系統(tǒng)的研究。
矩陣三角分解法是指高斯消去法解線性方程組的變形解法。其實質就是將系數(shù)矩陣A分解為兩個三角形矩陣L和U相乘，即A=LU。
一、矩陣的直接三角分解
矩陣的直角三角分解即可以不經過消元步驟，直接將矩陣進行分解。
定義1 設A∈Rn×n，若A能分解為一個下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU，則稱這種分解為矩陣A的三角分解。
（1）如果A可分解為A=LDU，其中L是單位下三角矩陣，D是對角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱A可作LDU分解；
（2）如果在A=LU中，L是單位下三角矩陣，U為上三角矩陣，則稱此三角分解為杜利特（Doolittle）分解；
（3）如果在A=LU中，L是下三角矩陣，U是單位上三角矩陣，則稱此三角矩陣為克勞特（Crout）分解。
定理1 n階方陣A非奇異的充要條件為（或A經行、列變換后）存在LDU分解。其中L為n階單位下三角矩陣，D為n階非奇異對角陣，U為n階單位上三角矩陣。
推論1 奇異矩陣不能進行LDU分解。
推論2 若矩陣A有奇異主子矩陣，則A不能直接進行LDU分解。
篇二：矩陣三角分解
第2章 線性代數(shù)方程組數(shù)值解法I：直接法
1. 矩陣
事實上，順序Gauss消去過程對應一個矩陣的三角分解，即對Axb的順序Gauss消去過程的結果，把矩陣A分解成兩個三角矩陣L與U的乘積：ALU 下面來證實這一點.依次取第 k步消元的乘法
(k)(k)
likaik (ik1,k2,,n) /akk
(k1)(k)(k) 則直接驗證可知,第k步消元(aij)的結果等價于對Ak左乘Lk: aijlikakj
A(k1)LkA(k)
于是 ,經過n1步消元,應有
u11 u12 u13
u22 u23Ln1L2L1AU U (2.3.1) u33
這里U為上三角矩陣，另外，又容易直接驗證Lk有下列兩個基本性質：
(1) Lk的逆陣存在，且有
1
11
1l Lk1,kk(2.3.2)
1lnk
1
(2) 逆陣Lk的乘積
1
1l21111
L1L2Ln1= =L（單位下三角矩陣）（2.3.3）
1ln1ln1
111
從而對(2.3.1)式兩端依次左乘Ln1,L2,Lk可得 111
U=LU AL1L2Ln1
L就是(2.3.3)式所示的單位下三角矩陣。這就是矩陣的三角分解或稱LU
分解。
ALU稱為A的doolittle分解
ALULDU=LU 稱為A的克勞特分解
ALDU 稱為 A的LDU分解
對于于有選主元和換行步驟的Gauss消去過程，也可證明它對應于“A左乘排列矩陣P的LU分解”，即有PA=LU。 例 2.3.1 用直接三角分解法解方程組（2.1節(jié)中的實例）
2 3 2x10
1 x 12 2243 1 7x3
解 把解法分為3個步驟：
①令A=LU，用Doolittle分解，即令
u11 u12 u13 2 3 21
12 2 l lu u212223
41u33 3 1 l31 l32
考慮A的第1行，對比右邊兩矩陣的乘積，有
21u11u112
31u12u123 21uu2
1313
此結果即U的第1行與A的第1行全同，這對一般情形也是適用的，因此，在分解計算中，此結果也可直接寫出。接著，再依次考慮A的第1列、第2行、第3列(除去已考慮過的元素)，作同樣比較有
l211/21l21u11
3lu l3/2311131
2l21u12 1u22 u221/2
2l21u13 1u23 l233
1l31u12l32u22 l327
4l31u13l32u231u33 u3328
12 3 2
1/2 11/23 即得A
128 3/2 7
②用前推過程解下三角方程組
1y10y10
1/2 y 1得 y 1 122
1 3/2 7 714y3y3
③用回代過程解上三角方程組
x12 3 2 x10 2
x 1得 x 1 1/2322
28 141/2x3x3
下面以不包括選主元和換行的Doolittle分解為例，給出解n階方程組Axb的一般計算公式及整個求解過程（分3個步驟） ①令ALU，即令
a1n 1 u1na11 a12 u11 u12
a a l1 au u2121222n222n
l l 1a a aun1n1n2nnnnn1
利用矩陣乘法規(guī)則,并對比等式兩邊對應元素,由A的第1行得
a1j1u1j (j1，2， ，n)a1ju1j (j1，2， ，n)
(2.3.5)
由A的第1列（除第1行元素外）得
ak1lk1u11 (k2，3， ，n)lk1ak1/u11 (k2，3， ，n)
(2.3.6)
依此類推，由A的第k列（1kn）（除前k1列元素外）得
akjlkrurjukj
r1
k1
ukjakjlkrurj (jk，，1，，n)
r1
k1
(2.3.7)
由A的第k列（1kn）（除前k列元素外）得
aiklirurklikukk
r1k1
lik(aiklirurk)/ukk (ik1，，n)
r1
k1
(2.3.8)
②求解下三角方程組Lyb得
y1b1
i1
3，，n)yibiliryr(i2，
r1
③求解上三角方程組Uxy得
xnyn/unn
n
，2，1)xi(yiuirxr)/uii(in1，
ri1
這就是用直接三角分解法求解方程組的公式，其中第①步中的前兩個公式也可合并入后兩個公式；第②，③步中的前一公式也可并入后一公式，這時當公式中出現(xiàn)和
r10
rn1
n
時均不執(zhí)行計算，作零處理
（在列主元Gauss消去法一節(jié)中已提過這個附注）。
n3
可以推出，Doolittle算法的乘除法次數(shù)大致為，與Gauss消3
去法大致相同，故就計算量而言，采用Doolittle算法解方程組并無特別優(yōu)勢（因為我們已擁有相當高效的列主元Gauss消去法）。應用中，主要借助直接三角分解法的處理方法來處理具有特殊情況的方程組。這就是下一節(jié)要介紹的解三角方程組的追趕法和解對稱正定方程組的平方根法。
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